Physical Modeling of Quasar Multi-Wavelength Spectral Energy Distributions

1. Introduction

Classical quasars exhibit broadband emission spanning from radio to gamma-rays, generated through distinct physical processes in different regions of the active galactic nucleus (AGN). This article presents a first-principles approach to modeling their spectral energy distributions (SEDs) without relying on phenomenological power-law approximations.

2. Radiation Components and Physical Models

2.1 Accretion Disk

通过求解基本的质量、动量、角动量与能量守恒方程组，在不同物理近似下得到的吸积解， 我们可以实现从标准薄盘、ADAF、LHAF 到 Slim Disk 的连续过渡，并进而推导出各自的多波段辐射谱。 这种统一的辐射积分框架连接了动力学与辐射过程，有助于对观测数据进行自洽解释。

实际上，标准薄盘（SSD）、ADAF、LHAF 乃至 Slim Disk 等不同吸积模式， 都是同一套径向稳恒、轴对称流体—动量—能量方程组的不同解，只是对关键物理参数和近似条件的处理不同。

统一的原始方程组

1. 质量守恒：

\[ \dot{M} = -2\pi R\,\Sigma\,v_R = \text{const} \]

2. 径向动量方程：

\[ v_R \frac{dv_R}{dR} - \frac{v_\phi^2}{R} = -\frac{GM}{R^2} - \frac{1}{\rho}\frac{dP}{dR} \]

在亚声速近似下，离心力与重力近似平衡：

\[ \frac{v_\phi^2}{R} \approx \frac{GM}{R^2} \quad \Rightarrow \quad v_\phi \approx v_K = \sqrt{\frac{GM}{R}} \]

3. 角动量守恒：

\[ \dot{M} (l - l_{\text{in}}) = 2\pi R^3 \nu \Sigma \frac{d\Omega}{dR} \]

4. 垂直方向流体力平衡：

\[ H = \frac{c_s}{\Omega_K}, \quad \text{其中 } c_s^2 = \frac{P}{\rho} \]

5. 能量守恒：

\[ Q^+ = Q^- + Q^{\rm adv} \]

• 粘性加热：

  \[ Q^+ = \nu\,\Sigma\,R^2 \left(\frac{d\Omega}{dR}\right)^2 \approx \frac{3}{2}\,\nu\,\Sigma\,\Omega_K^2 \]

• 辐射冷却（光深 \( \tau \gg 1 \)）：

  \[ Q^- = \frac{4\sigma T_c^4}{3\tau} = \frac{8ac\,T_c^4}{3\kappa\,\Sigma} \]

• 熵输运（Advective Cooling/Heating）：

  \[ Q^{\rm adv} = \frac{\dot{M}}{2\pi R^2} \frac{P}{\rho}\,\xi, \quad \xi = \frac{\frac{d\ln P}{d\ln R} - \gamma\,\frac{d\ln \rho}{d\ln R}}{\gamma - 1} \]

Standard Thin Disk Model (Shakura-Sunyaev)

在 \( Q^{\rm adv} \ll Q^- \) 的条件下，假设所有产生的热量瞬间通过辐射释放，得到局域有效温度关系：

\[ \sigma\,T_{\text{eff}}^4(R) = \frac{3GM\,\dot{M}}{8\pi R^3} \left(1 - \sqrt{\frac{R_{\rm in}}{R}} \right) \]

表面辐射视为局域黑体：

\[ L_\nu = 4\pi\,\cos i\,\int_{R_{\rm in}}^{R_{\rm out}} \pi\,B_\nu\bigl(T_{\text{eff}}(R)\bigr)\, 2\pi\,R\,dR \]

ADAF / LHAF / Slim Disk

统一谱表示

无论是 SSD、ADAF 还是 Slim Disk 模式，其整体光谱都可在统一的辐射积分框架中表示为：

\[ L_\nu = \int_{R_{\rm in}}^{R_{\rm out}} 2\pi\,R\,dR \int_{-H}^{H} j_\nu(R,z)\, e^{-\tau_\nu(R,z)}\,dz \]

其中 j_ν(R,z) 为局域发射系数，主要由以下各种辐射机制构成：

• 热黑体辐射： 对于 SSD，视为局域黑体发射，可写为 \[ j_\nu^{\rm bb} \approx \pi\,B_\nu\bigl(T_{\text{eff}}(R)\bigr)\,\delta(z) \]
• 同步辐射： 形式近似为 \[ j_\nu^{\rm syn} \propto n_e\,B\,\nu^{-1/2}\,\exp\Bigl(-\sqrt{\nu/\nu_c}\Bigr), \] 其中 \(\nu_c \sim \nu_B \gamma^2\) 且 \(\nu_B = eB/2\pi m_e c\)。
• 自由-自由辐射： 表达式为 \[ j_\nu^{\rm ff} \propto n_e^2\,T_e^{-1/2}\,\exp\Bigl(-\frac{h\nu}{kT_e}\Bigr). \]
• 康普顿化： 由低频 seed photon 经热电子多次散射形成近似 power-law 譜段，其修正可依赖于 Kompaneets 方程描述。

最终的谱形反映了流体解（即 n_e(R) 与 T_e(R)）与主导辐射机制的耦合结果。

2.2 Dusty Torus

2.3 Jet