Physical Modeling of Quasar Multi-Wavelength Spectral Energy Distributions

Astrophysics AGN Radiation Mechanisms

2025-4-9 19:38:16

1. Introduction

Classical quasars exhibit broadband emission spanning from radio to gamma-rays, generated through distinct physical processes in different regions of the active galactic nucleus (AGN). This article presents a first-principles approach to modeling their spectral energy distributions (SEDs) without relying on phenomenological power-law approximations.

2.1 Accretion Disk

通过求解基本的质量、动量、角动量与能量守恒方程组，在不同物理近似下得到的吸积解，我们可以实现从标准薄盘、ADAF、LHAF 到 Slim Disk 的连续过渡，并进而推导出各自的多波段辐射谱。这种统一的辐射积分框架连接了动力学与辐射过程，有助于对观测数据进行自洽解释。

以下从最一般的流体方程组出发，依次描述经典薄盘、相对论薄盘、Slim Disk 和 ADAF 模型如何在一系列假设下将原始方程组简化，并给出各自的连续谱。

一般流体方程组

吸积流体在柱坐标系 \((r, φ, z)\) 下满足三个基本守恒方程。首先是质量守恒：

质量守恒公式：\(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) = 0\)

动量守恒包括径向和角动量分量，径向动量方程写为：

\begin{aligned} \rho\Bigl(\frac{\partial v_r}{\partial t} + v_r\frac{\partial v_r}{\partial r} - \frac{v_{\phi}^2}{r}\Bigr) = -\frac{\partial P}{\partial r} - \rho\frac{GM}{r^2} + (\nabla\cdot\boldsymbol{\tau})_r. \end{aligned}

角动量守恒则为：

\begin{aligned} \rho\frac{\partial}{\partial t}(r v_{\phi}) + \rho\,v_r\frac{\partial}{\partial r}(r v_{\phi}) = (\nabla\cdot\boldsymbol{\tau})_{\phi}. \end{aligned}

能量方程可写为：

\begin{aligned} \rho T\Bigl(\frac{\partial s}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla s\Bigr) = Q^+ - Q^-. \end{aligned}

经典薄盘模型（Shakura–Sunyaev）

在最一般方程组基础上，假设盘体稳恒 \(\partial/\partial t=0\)、轴对称 \(\partial/\partial \phi=0\)，几何薄盘 \(H(r)\ll r\)，垂直方向为光学厚黑体层且局部加热 \(Q^+\) 即刻以黑体辐射 \(Q^-=2\sigma T_{\rm eff}^4\) 散出；黏性应力采用 \(\tau_{r\phi}=\alpha P\) 的 α 参数化；引力和流体动力均用牛顿近似。在这些假设下，质量守恒方程简化为常数吸积率

\begin{aligned} \dot M &= -2\pi r\Sigma v_r, \\ \end{aligned}

角动量守恒与零扭矩内边界条件：\(r_{in}\)处\(\tau_{r\phi}=0\)联立得局部黏性耗散

\begin{aligned} D(r) &= \frac{3GM\dot M}{8\pi r^3}\Bigl(1-\sqrt{\tfrac{r_{\rm in}}{r}}\Bigr), \\ \end{aligned}

再由能量平衡 \(2\sigma T_{\rm eff}^4(r) = D(r)\) 解得有效温度分布

\begin{aligned} T_{\rm eff}(r)=\Bigl[\tfrac{3GM\dot M}{8\pi\sigma r^3}(1-\sqrt{r_{\rm in}/r})\Bigr]^{1/4} \end{aligned}

将盘面每个半径环元视作黑体面元，面向观测者所见的谱流密度为

\begin{aligned} F_{\nu} &= \frac{\cos i}{D^2} \int_{r_{\rm in}}^{r_{\rm out}} 2\pi r \; B_{\nu}[T_{\rm eff}(r)] \, dr \\ &= \frac{4\pi h\nu^3 \cos i}{c^2 D^2} \int_{r_{\rm in}}^{r_{\rm out}} \frac{r\,dr}{\exp\bigl(h\nu/kT_{\rm eff}(r)\bigr)-1} \end{aligned}

在中频区可近似出 \(F_{\nu} \propto \nu^{1/3}\)。

相对论薄盘模型（Novikov–Thorne）

Novikov–Thorne 模型在经典薄盘基础上引入广义相对论效应，采用 Kerr 度规描述自转黑洞时空，圆周轨道能量 \(E(r)\)、角动量 \(L(r)\) 和角速度 \(\Omega(r)\) 均用解析的 GR 表达式代替牛顿近似；黏性耗散由

\begin{aligned} D_{\rm GR}(r) &= -\frac{\dot M}{4\pi\sqrt{-g}} \frac{d\Omega}{dr} \, \frac{E-\Omega L}{(E-\Omega L)^2} \int_{r_{\rm in}}^r (E-\Omega L) \frac{dL}{dr'} \, dr' \end{aligned}

给出，其中 \(\sqrt{-g}\) 为度规行列式因子，依旧在 ISCO 处施加零扭矩边界。假设局部热平衡 \(\sigma T_{\rm eff}^4=D_{\rm GR}(r)\)，并通过光线追迹考虑光束偏折、引力红移和多普勒位移，引入传输函数 \(\mathcal{T}(r,\nu,i,a)\)，则观测谱为

\begin{aligned} F_{\nu} &= \frac{1}{D^2} \int_{r_{\rm in}}^{r_{\rm out}} \mathcal{T}(r,\nu,i,a)\; 2\pi r \; B_{\nu}[T_{\rm eff}(r)] \, dr. \end{aligned}

该模型能够精确再现强引力区 Fe Kα 双峰形态与高能端谱形变形。

Slim Disk（超 Eddington 吸积）

当吸积率\(\dot M\)逼近或超过 Eddington 值时，经典薄盘的局部热平衡假设不再充分，需在能量方程中加入热平流（advective）项。Slim Disk 保持稳恒、轴对称与 \(\alpha\) 黏性参数化，但允许盘体几何上相对增厚 \(H/r \lesssim 1\)，垂直仍然光学厚。其能量方程写为

\begin{aligned} Q^+ &= Q^- + Q_{\rm adv},\ \ \ \ Q_{\rm adv} = \frac{\dot M}{2\pi r} T \frac{ds}{dr}. \end{aligned}

其中\(Q^+ = \tau_{r\phi}r \frac{d\Omega}{dr}\)是黏性加热，\(Q^- = 2\sigma \tilde T_{\rm eff}(r)^4\)是辐射散失，通过联立连续方程、动量方程与含平流项的能量方程求解可获得平流修正后的温度 \(\tilde T_{\rm eff}(r)\) 。其连续谱形式与经典薄盘相同，只将\(T_{\rm eff}(r)\) 替换为 \(\tilde T_{\rm eff}(r)\)，连续谱为：

\begin{aligned} F_{\nu}=\frac{\cos i}{D^2}\int 2\pi r\,B_{\nu}[\tilde T_{\rm eff}(r)]\,dr \end{aligned}

由于平流效应带走内部能量，\(\tilde T_{\rm eff}(r)\)分布更平坦，使得紫外/软 X 区谱宽度和高能延伸增强。

ADAF/RIAF（低吸积率）

ADAF（Advection-Dominated Accretion Flow）针对吸积率远低于 Eddington 的稀薄盘流，核心是假设离子和电子温度分离，两温流体中离子通过黏性耗散吸热后大部分随物质平流入洞，仅通过库仑耦合 \(Q_{\rm ie}\) 部分加热电子并辐射。其能量方程分写为

\begin{aligned} Q^+ &= Q_{\rm ie} + Q_{\rm adv,i}, \\ Q_{\rm ie} &= Q^- + Q_{\rm adv,e}. \end{aligned}

质量与动量守恒同经典薄盘简化形式，总压主要为气体压。连续谱由同步、自发 Bremsstrahlung 和逆康普顿叠加：

\begin{aligned} F_{\nu} &= \frac{1}{4\pi D^2} \Bigl(L_{\nu}^{\rm synch} + L_{\nu}^{\rm brem} + L_{\nu}^{\rm IC}\Bigr), \\ L_{\nu}^{X} &= \int_{r_{\rm in}}^{r_{\rm out}}2\pi r\,H(r)\,j_{\nu}^{X}(r)\,dr. \end{aligned}

ADAF / LHAF / Slim Disk

Model	Accretion Regime	Energy Balance	Spectral Signature
ADAF	\(\dot m \ll 1\)	\(Q^+ = Q_{\rm adv,i} + Q_{\rm ie}\), 大部分热量随流体平流入 BH，辐射效率低	同步射电峰 + Bremsstrahlung + 多级 Compton，射电到 X 射线
LHAF	\(0.1 \lesssim \dot m \lesssim 1\)	\(Q^+ = Q^- + Q_{\rm adv}\)，平流项反向输送部分热量回盘中	更强热光球效应，UV/软 X 区谱更硬
Slim Disk	\(\dot m \gtrsim 1\)	\(Q^+ = Q^- + Q_{\rm adv}\), 辐射陷阱显著，平流带走内部热量	多色黑体展宽，UV/软 X 区高能延伸

2.2 Dust

我们这里所说的 Dust 是指围绕类星体中心黑洞的尘埃结构，它吸收中心发出的紫外/光学辐射并在红外重辐射，以维持热平衡。在讨论具体模型之前，我们始于最一般的辐射传输和能量平衡方程。任意尘埃体元沿光路 \(s\) 上的比强度 \(I_{\nu}\) 满足

\begin{aligned} \displaystyle \frac{dI_\nu}{ds} = -\kappa_\nu\,\rho\,I_\nu + \kappa_\nu \rho B_{\nu}[T_d(r)] \end{aligned}

其中 \(\kappa_\nu\) 是尘埃吸收+散射系数，\(\rho\) 是密度。而体元温度 \(T_d(r)\) 又要满足

\begin{aligned} \int_0^\infty \kappa_\nu\,J_\nu\,d\nu = \int_0^\infty \kappa_\nu\,B_\nu[T_d(\mathbf r)]\,d\nu,\ \ \ J_{\nu} = \frac{1}{4 \pi}\int I_{\nu}d\Omega \end{aligned}

给出，其中\(J_\nu\) 是角度平均的辐射场，\(B_{\nu}\) 是黑体。在此基础上，不同模型分别对 \(\rho(r, \phi)\) 、几何分布和散射效率做近似，从而导出可用于拟合红外谱能量分布的简化方程组。

2.2.1 Smooth Torus

平滑模型假设尘埃—气体成连续介质、轴对称分布，早期代表性工作如 Pier & Krolik (1992)[1]。其典型密度剖面写为

\begin{aligned} \displaystyle \rho(r,\theta)=\rho_0\Bigl(\frac{r}{r_0}\Bigr)^{-p}\exp\bigl[-q\,|\cos\theta|\bigr] \end{aligned}

其中 \(p\) 是中心距离，\(\theta\) 是极角参数。\(p\) 决定径向衰减，\(q\) 控制开口角^[1]。在这一假设下，尘埃体元厚度大、分布平滑，常忽略散射，仅保留吸收与热发射，于是将传输方程简化为

\begin{aligned} \displaystyle \frac{dI_\nu}{dr} \approx -\kappa_\nu\,\rho(r,\theta)\,I_\nu + \kappa_\nu\,\rho(r,\theta)\,B_\nu\bigl[T_d(r,\theta)\bigr] \end{aligned}

结合局部能量平衡，可近似得到尘埃温度随半径的衰减关系

\begin{aligned} \displaystyle T_d(r,\theta)\simeq\Bigl[\frac{L_{\rm UV}}{16\pi\sigma\,r^2}\,\frac{\langle Q_{\rm abs}\rangle}{\langle Q_{\rm em}\rangle}\Bigr]^{1/4} \end{aligned}

其中\(Q_{\rm abs/em}\)是尘粒对入射/出射谱的效率平均值^[2]。最终，对整个 Torus 体积积分可得红外谱

\begin{aligned} \displaystyle F_\nu = \frac{1}{D^2}\int \kappa_\nu\,\rho(r,\theta)\,B_\nu\bigl[T_d(r,\theta)\bigr]\,dV \end{aligned}

常用于解释类星体的“中—远红外峰”与光谱低频尾部。

2.2.2 云团模型 (Clumpy Torus)

云团模型假设尘埃由大量不相连的球状云团组成，每个云团内尘埃密度高、尺寸小于整体半径，从而在统计意义上产生不均匀的遮挡效果。典型代表为 Nenkova et al. (2008) 的 CLUMPY 模型，其核心假设：

径向云团数目分布：\(\displaystyle N(r) = N_0 \Bigl(\frac{r}{r_{\rm sub}}\Bigr)^{-q}\)，其中 \(N_0\) 为从近边缘到出射半径平均云团数目，\(q\) 控制径向衰减。
极向分布：云团角度分布满足高斯型，\(\displaystyle P(\theta)\propto \exp\Bigl[-\frac{(\theta-\pi/2)^2}{2\sigma^2}\Bigr]\)，\(\sigma\) 为开口半角。
单个云团光学厚度：\(\tau_V\)，并假设吸收与散射传输可用 Beer–Lambert 定律处理。

Monte Carlo 辐射传输结合上述分布，可计算出从任意视角看到的红外SED：

\[ F_\nu = \frac{1}{D^2}\sum_{i=1}^{N_{\rm tot}} \int_{\rm cloud_i} \kappa_\nu\,\rho_{\rm cloud}\,B_\nu[T_d]\,dV \]

云与云之间的空隙导致视角依赖性更强，能够自然解释近红外与中红外的不同吸收特征。

2.2.3 双相介质模型 (Two-Phase Medium)

考虑到实际尘埃既有大尺度光滑组分，也有小尺度致密云团，双相模型在平滑分布的基础上叠加云团分布。如 Siebenmorgen et al. (2015) 或 Stalevski et al. (2016) 的 CAT3D-WIND 模型：

平滑组分沿径向和极向分布写作 \(\rho_{\rm smooth}(r,\theta)\)；
云团组分按 2.2.2 所述概率分布随机分布；
分别对两相介质进行辐射传输，再在最终光程上叠加发射与吸收。

双相模型相比纯平滑或纯云团，在重复拟合样本的中红外峰和近红外坍塌特征上具有更好自由度。

2.2.4 圆盘+风模型 (Disk + Wind)

近年来观测到极向（Polar）红外辐射，促使引入由黑洞吸积盘内侧吹出的尘埃风模型（e.g. Hönig & Kishimoto 2017）：

初始几何：近红外“热”尘埃位于吸积盘面上，随后被辐射压或磁场驱动形成离心风；
风流密度分布：\(\rho(r,\theta)\propto r^{-p}\,\exp\bigl[-(\theta-\theta_0)^2/2\,\sigma_w^2\bigr]\)，\(\theta_0\) 为风流主射角，\(\sigma_w\) 为半张角；
辐射传输：采用 Monte Carlo 方法模拟风中尘埃的加热与再辐射，可同时产生圆环与极向的红外辐射组件。

此模型能够自洽地解释在圆盘平面和极向方向均检测到的红外发射，以及偏振等观测特征。

2.2.5 辐射传输数值方法

以上各模型中，辐射传输和温度求解大多依赖数值方法，包括：

蒙特卡洛方法：随机跟踪光子包裹，多用于 CLUMPY、CAT3D、Disk+Wind 等复杂几何。
射线追踪法 (Ray-Tracing)：多用于平滑模型或近似一维径向传输，加速计算。
公共代码：如 RADMC-3D、SKIRT、TRADING、DART-Ray 等，可在任意几何下快速实现吸收、散射与再辐射。

通过对比不同模型在近红外 (1–5 μm)、中红外 (5–30 μm) 乃至远红外 (>30 μm) 波段的SED特征，人们可以从观测数据中约束几何形状、光学厚度、云团分布等关键物理参数。